Занимательные уроки для школьников

Маленькие слова с большим значением

Получив проверенную работу по математике, Клаус был очень удивлён:
- До чего же придирчив наш учитель, - сказал он друзьям. - Я все написал верно, за исключением нескольких маленьких словечек, но все же за первые четыре задачи не получил достойной оценки! Вот эти задачи:

1. При каком условии возможно деление в области натуральных чисел?
2. Сколько точек числовой оси соответствуют одному натуральному числу?
3. Делится ли число 3741111 на 3? Обосновать ответ.
4. а) Правильно ли, что все натуральные числа имеют одно предшествующее число?
б) Если это высказывание неправильно, объяснить, почему.
Клаус написал:

1. Деление a : b в области натуральных чисел возможно в том случае, если делимое а является кратным делителя b ИЛИ если b не является нулём.
2. Каждому натуральному числу соответствует точка на числовой оси.
3. Число 3741111 делится на 3. Обоснование: если число делится на 3, то и сумма цифр этого числа делится на 3.
4. а) Неправильно, так как число 1 не имеет предшествующего.
б) Все натуральные числа не имеют предшествующих чисел.

Пока друзья разглядывали работу, Клаус продолжал:
- И всё лишь потому, что в первой задаче вместо И я написал ИЛИ, а второй я забыл маленькое словечко РОВНО, а потому также получил сниженный балл, несмотря на то, что в остальном все было верно.

По поводу решения третьей задачи учитель написал: неправильное обоснование.

- Ганс написал так: "Так как сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3". За это он получил хорошую оценку. А я почти не вижу разницы в наших ответах. Что же касается четвёртой задачи, то тут я попался: ведь можно было заметить, что предложение: "Все натуральные числа не имеют предшествующих" - тоже неверное.

Из слов Клауса можно сделать следующий вывод.

Маленькие, почти незаметные слова, как например И, ИЛИ, РОВНО, могут иметь большое значение. И не только маленькие слова сами по себе, но и их место в предложении очень важно (например, место слов ЕСЛИ, ТАК, НЕ).

Для того, чтобы впредь не делать таких ошибок, какие сделал наш Клаус, рассмотрим эти маленькие слова с большим значением.

НЕ БОЛЕЕ, НЕ МЕНЕЕ, РОВНО, ОДИН И ТОЛЬКО ОДИН, ХОТЯ БЫ ОДИН

Рассмотрим высказывание:
Каждому натуральному числу соответствует точка на числовой оси.

Это высказывание верное. Оно выражает тот же смысл, что и высказывание:
Каждому натуральному числу соответствует хотя бы одна точка на числовой оси.

Этими предложениями не установлено, что каждое натуральное число соответствует только одной точке на числовой оси. Этих точек может быть несколько, но ни в коем случае не менее одной.

Как видно, информации в этих высказываниях значительно меньше, чем в предложении:
Каждому натуральному числу соответствует одна и только одна точка на числовой оси.

Теперь легко выяснить, верны ли следующие предложения:
1. Имеется РОВНО 3 однозначных натуральных числа, которые делятся на 3.
2. Имеется 3 однозначных натуральных числа, делящихся на 3.
3. Имеется не менее трех однозначных целых неотрицательных чисел, делящихся на 3.

Первое высказывание, конечно, неверно, так как имеется более чем 3 однозначных целых неотрицательных числа, делящихся на 3, а именно числа: 0, 3, 6, 9. Высказывания 2 и 3 - верные, они имеют один и тот же смысл.

Таким же образом мы можем установить, что высказывание между 1 и 100 имеется не менее 50 чётных натуральных чисел - неверное, так как на самом деле их только 49 (то есть менее 50).

Наверняка среди вас есть читатели, считающие, что высказывание
ГДР на 1 января 1971 года имела не более 60 млн. жителей - неверное, так как число жителей ГДР всего около 17 млн. Этот аргумент неубедителен: оборот "не более 50 млн." означает, что может быть и меньше, но ни в коем случае не больше, значит это высказывание - верное.

Проверьте, верны ли следующие высказывания.
а) Имеется не более 9 однозначных натуральных чисел.
б) Имеется не более двух чётных простых чисел.
в) Треугольник имеет не более трёх острых углов.
г) Уравнение 3^x = 27 имеет не более одного решения в области натуральных чисел.
д) Между 1 и 1000 имеется не менее 50 чётных натуральных чисел.
е) Уравнение 3^x = 27 имеет одно и только одно решение.
ж) Число 60 имеет ровно 10 натуральных делителей.
з) Каждому натуральному числу соответствует не более одной точки на числовой оси.
и) Уравнение 3^x = 27 имеет не менее одного решения.
к) Треугольник имеет не менее одного прямого угла.
Заметим, что два совместных высказывания
Имеется не менее одного х ...
И
Имеется не более одного х ...
можно заменить одним:
Имеется одно и только одно х ...
(сравните высказывания г), е), и).)

И

Союз "И" встречался нам в предложении о делении натуральных чисел (в письменной работе Клауса). С помощью этого слова мы можем объединить несколько отдельных высказываний в одной составное высказывание. Такую связь высказываний называют объединением или конъюнкцией. Рассмотрим пример.

Число 3 удовлетворяет неравенству х < 7 И число 3 удовлетворяет неравенству х > 2.

В этом высказывании две части:
1) Число 3 удовлетворяет неравенству х < 7 (верное),
2) Число 3 удовлетворяет неравенству х > 2 (верное).

Объединение (конъюнкция) высказываний будет верным в том и только в том случае, когда обе части, из которых оно образовано, тоже верны. В случае же, когда одна из частей верна, а другая неверна или, тем более, когда обе части неверны, объединение будет неверным. Например, высказывание

Число 300 непосредственно следует за числом 200 И число 1000 непосредственно предшествует числу 2000 - неверное, так как обе его части неверны.

1 является наименьшим натуральным числом И 100000000000 является наибольшим натуральным числом - неверное, так как второе из объединяемых высказываний - неверное.

Вернемся к вопросу о делении целых неотрицательных чисел.
Деление а : b в области целых неотрицательных чисел возможно, если число а кратно числу b И b ≠ 0.

В этом случае применить ИЛИ вместо И нельзя.

Легко понять, почему учитель не был удовлетворён ответом Клауса:
"Деление а : b в области целых неотрицательных чисел возможно, если делимое а является кратным делителя b ИЛИ если b не является нулём". В самом деле, пусть, например, а = 15, b = 4, Здесь b ≠ 0; условие, сформулированное Клаусом, выполняется, но деление нацело невозможно.

Проверьте самостоятельно следующие утверждения:
а) 461 · 7² = 3217 И 414 : 6 = 54.
б) В каждом треугольнике имеется не более одного прямого угла, А ТАКЖЕ не менее одного острого угла.
в) Число 19 удовлетворяет КАК неравенству 17 < х < 27, ТАК И неравенству 19 < х < 29.
г) Число 714 является чётным И, КРОМЕ ТОГО, делится на 7.
Мы видим, что имеются и другие связывающие слова, например: КАК... ТАК И, И, КРОМЕ ТОГО, НЕ ТОЛЬКО... НО И и другие, которые, будучи примененными вместо союза И, не меняют справедливости высказываний.

Или ИЛИ или ИЛИ ... ИЛИ

Союз ИЛИ и оборот ИЛИ ... ИЛИ могут связать два высказывания в новое. При этом очень важно выбрать нужные связующие слова.

Соединение двух высказываний, составленное с помощью ИЛИ, будет верным, если хотя бы одна его часть верна. Если же обе части высказывания неверны, то будет неверным и составное высказывание. Соединение, образованное при помощи выражения ИЛИ ... ИЛИ (которое называется дизъюнкцией), будет верным в том и только в том случае, когда одна и только одна часть высказывания верна; в противном случае оно будет неверным.

Высказывание:
2772 делится ИЛИ на 3 ИЛИ на 9 - неверное.

Рассмотрим еще один пример.
Учитель поставил ученикам задачу: начертить треугольник, который является прямоугольным ИЛИ равнобедренным. На рисунке показано, что ученики начертили. Кто из них выполнил задание верно?

а) Дитер - верно, его треугольник - прямоугольный;
б) Гейко - тоже верно, его треугольник равнобедренный;
в) и Петер - верно, его треугольник прямоугольный. И также равнобедренный, но это допустимо;
г) лишь чертеж Рольфа неверен: его треугольник не прямоугольный и не равнобедренный.

Предположим теперь, что учитель сформулировал задачу так: начертить треугольник, который является ИЛИ прямоугольным ИЛИ равнобедренным. Тогда лишь чертежи Дитера и Гейко выполнены верно.

Разберитесь самостоятельно, какие фигуры на этих рисунках начерчены верно, если задания были такими:
а) начертить два круга, которые касаются друг друга ИЛИ один из которых расположен внутри другого;
б) начертите два круга, которые ИЛИ касаются друг друга ИЛИ один расположен внутри другого;
в) начертите два круга, которые касаются друг друга И один из них расположен внутри другого.

ЕСЛИ А, ТО В и ЕСЛИ В, ТО А

Когда Клаус в своей работе обосновывал, что число 3741111 делится на 3, он написал:
"Если число делится на 3, то и сумма его цифр тоже делится на 3."

Ганс написал наоборот:
"Так как сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3", - и получил высшую оценку.

Клаус считал, что оба высказывания выражают один и тот же смысл. Так ли это?

Прежде всего заметим, что приведенные выражения опять-таки представляют собой объединения высказываний, образованные с помощью оборота "ЕСЛИ А, ТО В". Такая взаимосвязь высказываний называется также импликацией.

В объединениях высказываний, встречавшихся нам ранее (конъюнкция, альтернатива, дизъюнкция) порядок высказываний не играл никакой роли. Для импликации это уже неверно. Рассмотрим пример.

Предложение
Если число делится на 2³, то оно делится ина 2
высказано в форме "ЕСЛИ А, ТО В". Это предложение - верное. Первая часть такого предложения (до запятой) называется посылкой (условием), вторая часть - заключением (утверждением).

Поменяв местами посылку и заключение, мы получим обращённое предложение:
ЕСЛИ число делится на 2, ТО оно делится и на 2³, - а это предложение - неверное.

Оба предложения имеют форму "ЕСЛИ A, ТО B". Но тем не менее нельзя утверждать, что они имеют один и тот же смысл (хотя в данном случае оба предложения верны); они существенно отличаются друг от друга.

Условие, сформулированное Гансом, гласит: "Сумма цифр числа 3741111 делится на 3".
Отсюда делается заключение: "Число 3741111 тоже делится на 3".

Клаус, наоборот, исходит из условия, что число делится на 3, и делает заключение, что и сумма цифр числа делится на 3.

Обращение верного высказывания может быть верным, а может быть и неверным, как это было показано выше. Поэтому всегда важно понять, будет ли обращение данного высказывания верным.

Если обращение верного высказывания верно, то оба высказывания можно объединить, используя оборот "ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА" (или иначе: "в том и только в том случае, когда", "если и лишь если".

Итак, число делится на 3 ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА сумма цифр числа делится на 3.

Сформулируем теперь обращения некоторых высказываний и проверим верны ли они.
ЕСЛИ число делится на 6, ТО оно делится и на 2.
Обращение:
ЕСЛИ число делится на 2, ТО оно делится и на 6.

Ясно, что второе предложение неверно, так как, например, 14 делится на 2, но не делится на 6.

Сформулируйте обращенные предложения и проверьте, верны ли они.
а) ЕСЛИ число делится на 12, ТО оно делится и на 6.
б) ЕСЛИ стороны прямоугольника АВСМ равны, ТО прямоугольник АВСМ - квадрат.
в) ЕСЛИ точка Р лежит внутри треугольника, то она лежит и внутри круга, описанного около этого треугольника.

В заключение несколько задач посложнее. Проверим, верно ли, что:
а) Число делится на 9 ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА оно делится на 3.
Как мы знаем, оборот "ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА" охватывает и само предложение и его обращение. Чтобы установить, верно ли рассматриваемое предложение, надо проверить, верны ли оба предложения, из которых оно составлено. Вот эти два предложения:

(a₁) ЕСЛИ число делится на 9, ТО оно делится и на 3;
(а₂) ЕСЛИ число делится на 3, ТО оно делится и на 9.

Очевидно, (а₁) верно, (а₂) неверно. Следовательно, и составное высказывание неверно.

Рассмотрите самостоятельно следующие предложения:
(б) Три угла треугольника равны тогда и только тогда, когда равны его стороны.
(в) Два числа имеют общий делитель тогда и только тогда, когда оба они - чётные.
(г) Число делится на 4 тогда и только тогда, когда оно делится на 8.

"НЕ ВСЕ..." и "ВСЕ... НЕ"

Мы переходим к рассмотрению последней ошибки, сделанной Клаусом в его письменной работе. Задача заключалась в том, чтобы путем введения отрицания неверное высказывание превратить в верное.

Заметим сначала следующее:
1. Логическое отрицание неверного высказывания приводит к верному высказыванию;
2. Из верного высказывания с помощью логического отрицания можно получить неверное высказывание.

Составим отрицания следующих предложений:
(а) 247 - простое число;
(б) 2⁴ + 2² = 2⁵;
(в) а больше, чем 7;
(г) Произведение 17 · 11 - чётное число;
(д) Все простые числа - нечётные.

Отрицания предложений (а), (б), (в), (г) можно сформулировать сразу же:
(а') 247 - не является простым числом;
(б') 2⁴ + 2² ≠ 2⁵;
(в') а не больше, чем 7 или а меньше, чем 7 или равно 7
(г') Произведение 17 · 11 - нечётное число.

Как видно, отрицания можно сформулировать по-разному. Поэтому не так просто дать определённое правило для составления отрицания каждого отдельного высказывания. Можно, однако, использовать оборот "Неверно, что..." перед сформулированным ранее высказыванием. Так, высказывание "Неверно, что все простые числа - нечётные" будет правильно сформулированным отрицанием высказывания (д). А опрошенные мною школьники сформулировали это отрицание так:

Ральф: "Все простые числа не являются нечётными";
Инга: "Не все простые числа - нечётные";
Петра: "Ни одна нечётное число не является простым";
Бернд: "Существует хотя бы одно простое число, не являющееся нечётным".

Мы знаем, что высказывание (д) неверно. Значит, отрицание этого высказывания должно быть верным. Но можно проверить, что только Инга и Бернд сформулировали верные высказывания.

Вместо высказывания Ральфа: "Все простые числа не являются нечётными", - можно также сказать: "Все простые числа - чётные". Сразу видно, что это предложение неверно (как и высказывание Петры).

Ответы Бернда и Инги являются верными логическими отрицаниями высказывания "Все простые числа - нечётные". Точно так же ясно, что логическим отрицанием высказывания "Все натуральные числа имеют предшествующее натуральное число" должно быть не высказывание "Все натуральные числа не имеют предшествующих натуральных чисел", а "Не все натуральные числа имеют предшествующее натуральное число" или "Существует хотя бы одно натуральное число, не имеющее предшествующего натурального числа".

Сформулируем отрицания следующих неверных высказываний:
(1) Для всех натуральных чисел a, b верно, что a - b = b - a;
(2) Каждый треугольник имеет два тупых угла;
(3) Все ромбоиды - ромбы.

Например:
(1') Не для всех натуральных чисел a, b верно, что a - b = b - a;
или
Существуют натуральные числа a, b, для которых неверно, что a - b = b - a;
(2') Не каждый треугольник имеет два тупых угла
или
Существуют треугольники, не имеющие двух тупых углов;
(3') Не все ромбоиды - ромбы
или
Хотя бы один ромбоид - не ромб.

В математике также встречаются высказывания о существовании. Например:

Высказывание о существовании можно отрицать с помощью оборотов "НЕ СУЩЕСТВУЕТ ..." пли "ВСЕ ... НЕ ...".

Сформулируйте самостоятельно отрицания высказываний (а)-(е). Какие из этих высказываний неверны?
(а) Уравнение a · 0 = 17 имеет в области натуральных чисел хотя бы одно решение;
(б) Все числа, делящиеся на 17, - нечётные;
(в) Каждое натуральное число, удовлетворяющее неравенству З2 < х < 72, удовлетворяет также неравенству 3 < х < 24;
(г) Существуют пары чисел (а, b), для которых a^b = b^a;
(д) Хотя бы один равносторонний треугольник - прямоугольный;
(е) Все ромбы - ромбоиды.

"Повторяю условие: Из пунктов A и B навстречу друг другу одновременно выезжают..."